小学校算数３年生の項目詳細【数と計算】③

こんにちわ、訪問ありがとうございます！

はじめに
【数と計算】領域について
３年生の単元一覧
各単元の項目詳細
- 整数の除法
- ※ご注意事項
おわりに

はじめに

以前の記事「小学校算数３年生の単元と項目」で内容一覧を、具体的には『内容領域ごとの「単元名」「項目名」』をご紹介しました。

小学校算数３年生の単元と項目

算数３年生で学ぶ内容について「単元名」ごとに「項目名」「捉え方・考え方などのポイント」「用語や記号」を紹介しています。

それだけでも十分かもしれませんが、学習指導要領公式解説には、なるほど！と思う詳しい内容が沢山載っています。

家庭学習をサポートする上で、知っていて損はないと思います。よって、公式解説を基にまとめた「項目の詳細説明」を、上記でご紹介した「項目名」に沿って一覧にしてご紹介しています。

一度にご紹介するとボリュームが多くなりすぎますので、領域ごとに記事を分けています。さらに、内部もボリューミーな領域は、１～３単元ずつに分けています！（特に【数と計算】は多いです(-o-;)）

それでは今回は【数と計算】３回目、「小学校算数３年生の項目詳細【数と計算】③」です、見ていきましょう！

PDFとnoteのご案内

〇内容一覧である上記の記事を、見やすく印刷しやすいようA4にまとめた「小学校算数３年生の単元と項目 PDF」を noteで公開予定です！(有料公開です)

→ PDFは現在準備中です、完成次第こちらでサンプルとともにご案内します、よろしくお願いします m(_ _)m

【数と計算】領域について

【数と計算】領域では、算数や数学の基本となる「数・量・図形」のうち、「数」について学びます。

および数を操作するための「演算」や「演算子を用いた式」などの意味・ルール・使い方、等も学びます。

３年生の単元一覧

３年生で学習する【数と計算】領域の単元は、以下になります；

【数と計算】 – 単元一覧：３年生

「整数の表し方」
「整数の加法・減法」
　⇒ 別記事です：該当記事へ
「整数の乗法」
　⇒ 別記事です：該当記事へ
「整数の除法」
　⇒ ★当記事です★（タイトルでジャンプ）
「小数について」
「小数の加法・減法」
　⇒（※ 記事準備中です）
「分数について」
「分数の加法・減法」
　⇒（※ 記事準備中です）
「数量の関係を表す式」
「そろばんを用いた数の表し方と計算」
　⇒（※ 記事準備中です）

※ 括り方や単元名は当ブログの場合です、学習指導要領や教科書等とは異なることもあります。
※ 左の番号は当ブログでの領域内の記事番号です、算数的な意味等はありません。m(_ _)m
※ 準備中の記事については、今後記事の分け方が変更になる可能性もあります。

各単元の項目詳細

以下より、算数３年生の【数と計算】領域中の単元「整数の除法」の各項目について、詳細をどんどんご紹介していきます！

各単元ごとに、「項目名」「項目詳細」が記載してあります

※ ご注意事項も下部にございますので、ご一読ください。

整数の除法

整数の除法 – 項目詳細 : ３年生【数と計算】

● 除法とは

分けるときに用いる「割り算（除法）」という考え方を知る
「割り算（除法）」の式への表し方や、記号「÷」を知る

● 除法と減法の関係

除法を「ある数量から一定の大きさの数量を取り去るときの最大の回数を求める（累減）」とも捉え、減法としても考えられることを理解する
（例：12 ÷４の場合、12から４が引ける回数を求める、と捉えて、式「12−４-４-４＝０」の４の個数とも考えられる）
（※ ちなみにこの例のように「４個ずつが何回分引けるか」と考えた場合、「４個ずつ」が先に決まっているので、後述の等分除・包含除では、包含除となります。12 ÷４を等分除で捉えるなら、「４回引くとき何個ずつ引くのか」という考え方になります。式「12−〇-〇-〇-〇＝０」で〇の個数は４、この時〇に入る数字を求める、ということですね。）

● 除法と乗法の関係

除法を乗法の逆算とみると、もとの乗法の「被乗数を求める場合」と「乗数を求める場合」とがあることを理解する
（前者が「等分除」・後者が「包含除」です（詳細は次項））
２年生で学習した乗法の意味：
「一つ分の数（一つ分の数量の大きさ）（被乗数） × 幾つ分（乗数）＝全ての数（その幾つ分にあたる数量の大きさ）」
を再確認しながら、除法で求めるのが「1つ分の数」の方でも「幾つ分」の方でも、除法は乗法の逆算になることを理解する

● 除法の二つの意味 … 乗法「一つ分の数×幾つ分」のどちら側を求めたい除法なのか（等分除と包含除）

「分ける」際の２つの要素となる「幾つ分ずつ」「幾つに」分けるのか、において、そのどちら側を求めるのかで、除法は二つの意味をもつことを知る
二つの意味は、上の項目の『除法を乗法の逆算と見た時に、除法で求めるのが「1つ分の数」の方でも「幾つ分」の方でも、除法は乗法の逆算になること』そのものであり、同じく上の、２年生で学習した乗法の意味：
「一つ分の数（一つ分の数量の大きさ）（被乗数） × 幾つ分（乗数）＝全ての数（その幾つ分にあたる数量の大きさ）」
の、被乗数と乗数のどちら側の数を求めるのかという違いであることを理解する；

一つ分の数を求める場合：
→ 等分数で除して包含数を求める → 等分除
（例：12個のアメ玉を３人に等分すると何個ずつ配れるかを求めるなら 12個÷３人＝４個/人）
幾つ分かを求める場合：
→ 包含数で除して等分数を求める → 包含除
（例：12個のアメ玉を４個ずつ配ると何人に配れるかを求めるなら 12個÷４個/人＝３人）

※等分除・包含除という用語は子供達は学びません

これらの理解を通して、除法が乗法の逆算であることも捉えられるようにしていく
同じ状況なら、等分除か包含除か見方を変えても、同じ式になることを納得できるようにする
（→ 先の12個のアメ玉の例で、３人に等分する際１人何個ずつかを求めるなら、等分除で 12÷３＝４。同じ状況を見方を変えると、１回に１個ずつ配っていくと１回３個ずつ必要で、それが何回配れるかを求める、とも考えられる。１回３個を一括り、と捉え直すと、３個ずつが幾つ分なのかを求めることと同じになるので、この見方なら包含除で12÷３＝４。このことから、何をもって「一つ分の数」で「幾つ分」なのかという見方を替えることにより、同じ状況なら、等分除と捉えても包含除と捉えても、同じ演算式で表すことに矛盾がない、という見方も納得できるようにする。）
（※ 逆に言うと、何をもって「一つ分の数」で「幾つ分」なのかという見方を替えないならば、同じ状況に紐づく等分除と包含除は、同じ除法の式にはなりません。一人に配る数が「一つ分の数」で人数が「幾つ分」、のままなら、12個のアメ玉を４個ずつ３人に配る、という状況では、12÷３＝４と12÷４＝３が、同じ状況に紐づく等分除と包含除、つまり「同じ乗法４×３＝12 の逆算」です。）

● 除法が用いられる場面の式

「一つ分の数」が求めたい時と「幾つ分」が求めたい時、という除法が用いられる２つの場面を理解して（等分除と包含除）、どちらの場合も正しく式にできるようにする
逆に、式を読み取って、各状況や場面においての具体的な数量の関係を捉える
乗法の式での乗数（掛ける数）の「数の種類」が、幾つ分の数といった「数量」ではなく、ある数ともとの数の関係を表す数である「割合」である場合も、除法は乗法の逆算と捉えられることを理解する
（※○倍の○という数が「割合（別名”率”）」という種類の数です）；
「１つ分の数（被乗数）」「の何倍（乗数）」＝「全ての数（積）」
この場合も、乗数が「数量」である場合と同じ考えで、「１つ分の大きさ（被乗数）」を求める場合も、「何倍なのか（乗数）」を求める場合も、両方ともに、除法が用いられることを理解する
言葉や図などと関連付けながら、乗法と除法の式の関係の理解を深める

※「何倍」は２年生から登場する見方ですが、「幾つ分」と見ることと「何倍」と見ることの根本的な違いは、２・３年生では教わりません。そこが曖昧なまま「倍を求める時も除法が～」と言われても、言われたことは分かるし問題も解けるけど、そもそもなぜそんな話をされるのか？がよく分からない…、となってしまう子も多いかと思います。「幾つ分」と「何倍」の本質的な違いとは何なのか、について、以下のnoteにコラムとしてまとめていますので、よかったらご参考にしてください！(^^)/（２年生から直面する問題なので２年生コラムとなっています。）

《コラム》「乗法と倍」は何が違う？ー三番目の数「割合」の初登場ー（算数２年生 - 数と計算より）｜イノママ

こんにちわ、訪問ありがとうございます！今回も、算数２年生の内容に関係したコラムをお送りします！今回で２年生コラムは最終回です。そんな今回も「数と計算」領域より、『「乗法と倍」は何が違う？ー三番目の数「割合」の初登場ー』です...

● 計算力の確実な習得 … 「被除数÷１位数＝１位数」の除法（被除数は主に２位数まで）

除数（割る数）と商が共に１位数である除法の計算を、確実に出来るようにする
（例：42 ÷７や 16 ÷５など、九九を１回用いて、商や後述の余りが求められる計算）

● 簡単な「被除数÷１位数＝２位数」の除法

次のような簡単な「除数が１位数で商が２位数の除法」の計算方法を知る；

① 被除数（割られる数）が10で割り切れる、かつ、被除数の十の位の数が除数（割る数）で割り切れる数、の場合
（例：80÷４や 90÷３のような除法）
（→ 80÷４の場合、十を単位とした数の見方に関連させて 80を「10が8個」と捉え、その「8個」を４で割ると答えは「10が２個」、というように、数の単位（十・百・千など）の考えに基づいて考えられるようにする）
② 被除数（割られる数）が２位数、かつ、その十の位の数と一の位の数がそれぞれ除数（割る数）で割りきれる場合
（例：69÷３や 86÷２のような除法）
（→ 69÷３の場合、十を単位とした60÷３の計算の理解の基に、２位数の乗法と同様に、69 を 60 と９に分けて捉えて、60÷３＝20 と９÷３＝３の和として、答えは 23 と考えられるようにする）

● ０を割る除法

０を割る、即ち「被除数（割られる数）が０」というイメージを捉える；

＜例＞

まずは普通に、アメ玉を１人につき４個ずつ３人に配る際に必要なアメ玉の個数を乗法で求めることを考えると；

→ ４個/人×３人＝12個

これをもとに、「被除数（割られる数）が０」つまりということを、除法の二つの意味で考えると；

①「一つ分の数（もとの乗法の被乗数）」が分からない場合の「被除数（割られる数）が０」：
例： 12個を３人で等分すると何個ずつ配れるか、を求めるなら12個÷３人＝４個/人だが、この12個が０個に変わった場合、となるので
→ 「０個 ÷ ３人＝０個/人」
０個のアメを３人に配るなら１人に付き０個ずつ、という意味になります
（1つ分の数（被乗数）を求めるのは「等分除」です）
②「幾つ分（もとの乗法の乗数）」が分からない場合の「被除数（割られる数）が０」：
例：４個ずつ配ると何人に配れるか、を求めるなら12個÷４個/人＝３人だが、この12個が０個に変わった場合、となるので
→ ０個÷３個/人＝０人
０個のアメを1人に４個ずつ配るなら配れる人数は０人、という意味になります
（幾つ分（乗数）を求めるのは「包含除」です）

つまり、除法の二つの意味のどちらの場合も「０をいくつで割っても答えは０になる」ことを理解する

※ 等分除・包含除の両方で「除数が０の場合の意味」を捉えるか、は、教科書や先生によるかとも思います。作成者の子供の教科書では、子供達が捉えやすい「①等分除」の方のみでした。

※ 以上は「０を」割る除法です。お気付きかと思いますが「０で」割る除法は小学校では学びません。作成者の子供の教科書でも、今回も、うまい具合に敢えて触れていない、という感じです（笑）。「こちらはとても難しい話になるのでまだ考えないよ」というようなことを、先生によっては話したりするのかもしれません。

ちなみに「０で」割る除法の答えは、被除数が０か否かで答えが分かれ、被除数をaとして
　・a≠0ならば a÷0＝不能（解不能）
　・a＝0ならば a÷0＝不定（解不定）
となります。（もう少し詳しく書くと「解不能：不可能なので答えは存在しません」「解不定：全ての数で成立するので答えを定めることが出来ません」となります。）このことをいつ習うのか、は調べきれませんでした、スミマセンm(_ _)m

理系の高校数学では、さらに違う見方も加わります（関数で分母が限りなく0に近づく場合、プラス側かマイナス側かどちらから０に近づくのか、で、正の無限大に発散 or 負の無限大に発散、となります）。

考慮することが多く「つまりこうです！」と短く言い切れないのですが、小学生には難しいので算数がイヤになりそう、ということは言い切れそうです…(-o-)

● 余りとは

除法が、いつでも割り切れるとは限らないことを理解する
除法の割り切れなかった部分は、「余り」と呼ぶことを知る

● 余りのある割り算

上記の通り、除法には割り切れない場合があり、その場合には、商の他に「余り」も求めることを理解する
「余り」の表し方には決まりがあり、例えば17÷５ならば「17÷5＝3 あまり 2」というように表すことを知る
具体的な状況や場面がある時、そこでの商や余りが何を意味するか、が理解できるようにする
余りの意味から、「余りの大きさは除数よりも小さくなる」ことを理解する

※「17÷5＝3 あまり 2」は数学的概念を表す数学記号ではないもの（”あまり”という日本語のこと）が入り込んでおり、「＝」で成り立つ等式ではありません。
では余りを数学記号を用いて等式として成立するように表すとどうなるか、ですが…
　　被除数＝除数 × 商＋余り
となります。こちらは「数学的な等式」です。（※この関係は４年生の学習です。）

※ 上の「被除数＝除数 × 商＋余り」もいいのですが、いやその前に、まずこちら「被除数＝除数 × 商」では？と疑問に思い、余りのないシンプルなこの関係の式を一体いつ習うのか？調べてみました。が、小学校を通して、学習するよう指示はされていませんでした。
なぜ、シンプルなこちらは正式に学ばないのか？その理由は探し出せませんでしたが、個人的には、掛け算の順序との矛盾で混乱を招くからかな？などと思いました。
数式には「状況における数量の関係を表す言語的な面」と「数（文字も含めて）の操作内容を意味する数学の記述ルールである面」の両方の側面があると思います。（後者もそれを音・記号・ルールを共有して表し伝え合えていますので、一種の言語とも見れますが、置いておいて。）
状況を伴う除法の確かめを「被除数＝除数 × 商」の関係で行う場合、除数が「幾つ分」で商が「一つ分の数」になる等分除の場合、この「数式の二面性」を頭の中で瞬時に切り替えて用いないと、散々習った「掛け算の順序」との矛盾で混乱します。この切替は、小学生には荷が重い、ということでしょうか？（そこは余りが入っても同じなのですが、余りが入ると、子供達は余りと他の数との関係に気を取られ、そこの矛盾にまでは気が回らない可能性大。）
以上、習わない理由の推測です、本当の理由をご存じの方がいましたらぜひ教えてください、スミマセン…mm

● 状況に応じた余りの処理

余りがある場合、状況によって、商をそのまま答えとはできない場合があることを理解する
状況に応じた余りの処理を行い、商と合わせて考え、その場面に応じた、適切な答えを考えて求められるようにする；

＜例＞

38 人の子供が座れるよう４人がけの長椅子を用意する場合、何台用意すればよいか、を求める場合；

除法の計算は「38÷４＝９あまり２」となるが、「９あまり２」の意味は「４人ずつ９台に座ると２人余る」ということなので、余りが意味する２人が座る椅子も必要であることに気付き、問題解決のための答えは、「商に１を加えた10 台」である、と求められるようにする

※ご注意事項

※ ご紹介する単元名や項目名は、学習内容の意味的なまとまりをご紹介するために、学習指導要領や子供達の教科書等を参考に、作成者が個人的にまとめたものです。学習指導要領や各教科書および参考書等での、実際の括り方や用いられている名称とは異なる場合もありますのでご了承ください。

※ 調査や要約等には細心の注意を払い、出来る限り正確な内容となるよう努めていますが、あくまでも全て、個人の解釈です。内容を保障するものではありませんので、ご了承ください。

おわりに

以上で、３年生算数【数と計算】領域の２回目について、各項目の詳細説明は終了です。

３年生のこの領域には10単元ありますので（※ 当ブログでの括り方です）、領域内の項目説明はまだ続きます！

次回は、「小学校算数３年生の項目詳細【数と計算】④」です。

※2025/11/29現在、サイトリニューアルのため、「３年生の項目詳細【数と計算】④ ～【データの活用】」までのページが閲覧出来ません。12月初旬頃までには順次再公開していきますので、お待ちください。また、４年生以降はリニューアル未着手のため、「単元と項目」ページは内容の精査および校閲・校正の前段階、「項目詳細」ページはさらにボリュームが多すぎて読みにくい状態のまま、となっております。３年生終了後、順次リニューアル作業を行っていく予定です。ご迷惑をおかけして申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

それでは(^^)/

noteのご案内

〇各学年の算数PDFや算数コラムなどはこちらです！