小学校算数【５年生】

こんにちわ、訪問ありがとうございます！

はじめに
小学校算数 – ５年生の詳細説明 (項目について)
おわりに

はじめに

前回「小学校算数【５年生】– ①単元と項目」をご紹介しました。

前回の記事「小学校算数【５年生】– ①単元と項目」はこちらです！

それだけでも十分かもしれませんが、学習指導要領公式解説には、なるほど！と思う詳しい内容が沢山載っています。

家庭学習をサポートする上で知っていて損はないと思いますので、今回の記事では、それらを基にさらなる調査などを追加して詳細をまとめて、前回ご紹介した項目名に沿って一覧にしてご紹介します。

これだけでかなりのボリュームになってしまいますので、必要なところだけ読んでいただければと思います。

そして単元の土台や目的、算数的な小話など、他にも記載したいことが沢山あるのですが、ブログ記事だとさらなるボリュームを追加すると読みにくくなりますので、それらはnote版PDFの方に載せます。

それでは、「小学校算数【５年生】– ②詳細説明」、ブログ版は主に項目についてのみですが、見ていきましょう！

小学校算数 – ５年生の詳細説明 (項目について)

各領域ごとに、前回ご紹介した項目と同順で、各項目の詳細を挙げていきます。

※ 項目名は読みにくくなるので入れていません、前回の記事と照らし合わせてお読みください。

※ かなりボリュームがありますので、必要なところだけお読みいただければと思います。

前回の記事「小学校算数【５年生】– ①単元と項目」はこちらです！

数と計算

数と計算 : ５年生 – 各項目概要説明

● 整数の性質と構成

整数を２で割ると余りは０か１であり２で割ったときの余りが０になる整数を偶数・１になる整数を奇数ということを知る、全ての整数は偶数か奇数かの二種類に類別されることを理解する、このことを全ての整数は偶数か奇数かどちらかの組に属するという集合的な捉え方もできるようにする、整数は一の位が空位の他の位は全て２で割れるので結果として一の位を見れば偶数か奇数か判断が出来るがこの類別はあくまでも一の位がどちらなのかではなく２で割ったときの余りは０か１かであることを理解した上で早く判別するためのツールとして一の位で判断する(０は整数であり２で割って余りが０、０÷２＝０(２×０＝０)なので偶数の組に入ります)
ある整数を割り切ることのできる整数をそのある整数の約数ということを知る(12を割り切ることができる整数を12 の約数といい、1、2、3、4、6、12が12の約数である)、ある整数を整数倍してできる整数をそのある整数の倍数ということを知る(３に整数をかけてできる数を３の倍数といい、3、6、9、12…が3の倍数である(倍数はどこまでも大きい数が求められる、また小学校算数では０は倍数に含めない)、ある整数の約数や倍数の全体をそれぞれ一つの集まり、集合として捉えられるようにする
二つの整数のそれぞれの約数や倍数からなる集合の共通な要素からなる集合を公約数および公倍数ということを知る、公約数の中で最大の数を最大公約数ということを知る、公倍数の中で最小の数を最小公倍数ということを知る、公約数・公倍数・最大公約数・最小公倍数を理解して求められるようにする。(例：8の約数は｛1、2、4、8｝、12の約数は｛1、2、3、4、6、12｝、なので 8と12の共通する約数である公約数は｛1、2、4｝、および公約数の中で最大の数である最大公約数は4。また、8の倍数は｛8、16、24、32、…｝、12の倍数は｛12、24、36、48…｝、なので 8と12の共通する倍数である公倍数は｛24、48、72…｝、および公倍数の中で最小の数である最小公倍数は24。(※一般的および小学校算数では倍数は自然数をかけたものという意味であり、数学的には０は整数なので０は全ての整数の倍数でもあります。「小学校の間は倍数は自然数をかけたもので考えます」、これでいいと思うのですが、自然数の概念を学ぶのが中学校なのでこの説目はできず、小学校の教科書には「０は倍数に含めないことにします」的なことが理由もなくサラッと書いてあるのみです。しかし整数の偶数奇数については、０は偶数の組に入ることを学びます。２×０＝０だからです。なのに理由もなく倍数には０は含めません、では数学が得意な子・理論的思考が得意な子ほどモヤモヤすると思います。５年生であれば「０も倍数とは何かを考えれば本当は倍数に含まれるけど考え方が難しくなるので、小学生のうちはまずは倍数は１以上の整数で考えます」とざっくり理由を説明してもいいのでは？とも思います。) (※数学的には０も倍数、ですが、素因数分解した素因数をすべて持つのが倍数、という見方だと０を含まないときもあります。)

★ 用語や記号

最大公約数、最小公倍数

● 小数点と整数や小数の表し方

小数点の位置を移動することによりもととなる数の 10倍、100倍、1000倍、1/10、1/100などの大きさの数をつくれることを理解する、必要に応じて 1/1000の大きさの数もつくれるようにする、これらを操作を形式的に行うのではなく数の大きさや数の構成についての感覚を深めながら十進位取り記数法(十進数の数字での記し方)では小数点が1桁右に移ると10倍の大きさを表し 1桁左へ移ると1/10の大きさを表すということを実感を伴いながら理解していく

● 小数の乗法・除法

４年生では乗数や除数が整数の場合について小数の乗法・除法の計算の意味を理解したが、５年生では乗数や除数が小数の場合の意味を理解する；<乗法の場合> 乗数が整数となる小数の乗法の意味は当然乗数が整数の場合と変わるのではなく、今まで考えてきた意味でそのまま乗数が小数になっても適用できることを理解する、ただし乗法の意味である「一つ分の大きさ(被乗数) × 幾つ分か・何倍か(乗数) ＝該当数分に当たる大きさ(積)」において乗数は「幾つ分か」だと小数では捉えにくいので「何倍か」に意味を集約して、乗法を『「基準にする大きさ(被乗数)のその倍数(乗数)分に当たる大きさ」を求めると「積」となる』と捉え直して、その乗数が小数になってもこの意味で捉えられるようにする、この意味より乗数が1より小さい場合積は被乗数より小さくなることも理解できるようにする(※ 例) 1メートル 80円の布を何メートルか買った際の値段について整数倍と小数倍を同じ考え方で捉えて値段を求めてみる (1)2メートル買ったときの値段→80×2　(2) 2.5メートル買ったときの値段→80×2.5　(3) 0.8メートル買ったときの値段→80×0.8)、値段と布の長さそれぞれ数直線にして対応させることで乗数が１より小さい場合積が被乗数より小さくなることも確認する　　<除法の場合> 除法を乗法の逆として見た際に被乗数と乗数のどちらを求めるのかで分かれる除法の二つの意味についてどちらの場合も除数が小数でも意味を捉えられるようにする；乗法を「基準にする大きさ(被乗数) × 倍数(乗数) ＝その倍数分に当たる大きさ(積)」と捉え直した上で ①基準にする大きさ(被乗数) を求める場合：「その倍数分に当たる大きさ[被除数(もとの積)]÷倍数[除数(もとの乗数)]＝基準にする大きさ[商(もとの被乗数)] 」→ 乗法をA×a＝Bとした場合のB÷a＝Aであり、Aを求めるつまり Bは幾つを基準としたときのa倍であるかを求める即ち基準にする大きさを求める考え方でありこの場合の除数が小数即ち aが小数・倍数が小数の場合も同じ考え方で意味を理解できるようにする (※ 例)2.5メートルで200円の布の１メートルの値段はいくらか：200÷2.5)　　②倍数(乗数)を求める場合：「その倍数分に当たる大きさ[被除数(もとの積)]÷基準にする大きさ[被除数(もとの被乗数)]＝倍数[商(もとの乗数)]」→ 乗法をA×a＝Bとした場合のB÷A＝aであり、aを求めるつまり BはAの何倍であるかを求める即ち倍数を求める考え方でありこの場合の除数が小数即ち Aが小数・基準にする大きさが小数の場合も同じ考え方で意味を理解できるようにする (※ 例) (1) 9メートルのリボンは 1.8 メートルのリボンの何倍になるか→ 9÷1.8 (2)9メートルのリボンを 1.8 メートルずつ切り取ると何本できるか→9÷1.8)、どちらの意味でも、除数が1より小さい場合商は被乗数より大きくなることも理解できるようにする (※ ①は整数の場合の等分除(等分数で除する) ②は整数の場合の包含除(包含数で除する) です。) (※今までの学年で学んできた乗法・除法の意味(乗法：「一つ分の大きさ(被乗数) × 幾つ分か(乗数) ＝該当数分に当たる大きさ(積)」、その逆の除法：「該当数分に当たる大きさ[商(もとの積)]÷幾つ分か[(もとの乗数)]＝一つ分の大きさ[(もとの被乗数)] 」) のままで捉えていると特に①の等分除の考え方の方で幾つ分が小数分では意味が掴めなくなってしまうので、５年生では乗法を「基準にする大きさ(被乗数) × 倍数(乗数) ＝その倍数分に当たる大きさ(積)」とより大きな一般的な意味で捉え直せるようにする必要があります。) (※除数が小数、特に除数が１より小さい場合、意味が理解できなかったり除数と商の大きさの関係が分からなくなってしまったりする子が多いようです。除法が①②どちらの意味であっても、被除数÷除数＝商であり被除数＝商×除数なので、除数が１より小さいということは 1より小さい除数を掛けたときに被除数となる値が商なので、商は被乗数より大きくなることを理解する。また①②どちらの意味の場合でも数直線などを用いて除数が１より小さいときの意味と商が被除数よりも大きくなることを実感を伴いながら理解できるようにする。)
<乗法の場合> ３年生から数を1ではなく10を単位(1まとまり)として捉えることにより被乗数を10倍すると積も10倍になるという乗法の性質を学習してきたがこの考え方を乗数にも広げて乗数を10倍した場合も積も10倍になることを理解する(実際に数直線などで乗数を10倍すると積も10倍になることの確認なども行う)、さらに乗数を10倍、100倍… すると積も10倍、100倍… になる性質として捉え直す(※等式の性質としての乗法の性質 a＝bならばac＝bc の学習は中学1年生です)、乗数の小数を10倍、100倍…して整数の乗法に直してから一旦計算してその積を10、100… で割って本当の積を求める、などの方法で考えられるようにする(12×4.3の場合 12×(4.3×10)÷10＝12×43÷10、12×0.43の場合 12×(0.43×100)÷100＝12×43÷100と考えて計算する)　 <除法の場合> 除数が小数の除法は「除数と被除数の両方に同じ数をかけても、または同じ数で割っても、商は変わらない」という除法の性質を活かして、除数と被除数の両方を10倍、100倍…して両方を整数にして商を求める、などの方法で考えられるようにする(7.2÷2.4の場合 (7.2×10)÷(2.4×10)＝72÷24、0.1÷0.04の場合(0.1×100)÷(0.04×100)＝10÷4と考えて計算する)、被除数の最小の位で割り切れない場合でもさらに割り進むことができることを理解する(0.5÷0.4＝1.25)、<乗法・除法ともに> 計算の考え方を理解した上で筆算での小数点の打ち方も含めてこれらの計算が出来るようにする
小数の除法の余りの大きさを理解する、余りの小数点の位置に誤りが多いので余りが表す意味を再度考えた上で余りの大きさを考え余りは除数より小さいことの再確認をする、(被除数)＝(除数)×(商)＋(余り)の関係を再認識する、商、除数、余りの大きさの関係を捉えた上で余りが表す大きさを考えて余りの小数点を正しい位置に打つ、余りの考え方を理解した上で筆算での小数点の打ち方も含めて正しい余りが出せるようにする (※ 小数の割り算は筆算も含めて「被除数・除数ともに同じ数で掛けたり割ったりしても商は同じである」ことを利用して小数点の位置を計算しやすく操作して行いますが、余りがこの性質には該当しないことで混乱する子もいます。下記の分配法則を使えば、余りは計算過程で使用した小数点の操作、つまり被除数・除数の両方に掛けた10の倍数を解除しないといけないことが分かります。「被除数・除数ともに同じ数で掛けたり割ったりしても商は同じである」は、正式には、「被除数・除数ともに同じ数で掛けたり割ったりすると、もとの数式と同じ数式でななくなるが、商は同じである」です。例として10を掛けてこの操作を行った場合、上の関係を確かめる式で全体を見ると 10×(被除数)＝10×｛(除数)×(商)＋(余り)｝の状態になっています。この右辺を分配法則で分解すると 10×(除数)×(商)＋10×(余り) です。この際の 10×(除数)×(商) の 10 は除数側にかかっていると見れば、まさに左辺の被除数・この除数ともに10が掛かった状態で、商は10倍されずそのまま同じです。しかし余りは 10×(余り) の状態になっており、本来の数式の余りから10倍されてしまっていることが分かります。このように、もとの数式と同じ数式ではなくなっていますが、求めるのが商だけでいいならそのまま使えます。しかし余りを求めるなら、こちらは本来の数式が出す余りに戻す、即ち今度は10で割る必要があります。筆算ならもとの位置から小数点を下ろしてくるだけでそれが出来るのでラクです。)
小数の乗法・除法でも整数の場合と同じ関係や法則が成り立つことを主に分配法則で確かめる：分配法則 – 加法・減法と乗法→ a×(b±c)＝a×b±a×c、(a±b)×c＝a×c±b×c　(※文字を使った式は６年生の学習内容ですが、大人は記号より文字の方が捉えやすいと思い文字で記載しました。５年生までの小学生サポートの際はa・b・cを○・△・□などに置き換えてください。)

● 分数について

「整数と分数」および「小数と分数」は別ものなのではなく、表記は違っても数としては同じ数を表していることを実感しながら理解する　<整数と分数> 整数aを分数に表す場合最も簡単に表すなら a＝a/1 (ただしこの際の分母は必ずしも１とは限らないので、分母の値によって分子の値が決まる(２＝2/1 ＝4/2 ＝…など、整数aならa＝a/1＝2×a/2＝3×a/3…))　<小数と分数> 小数を分数に表す場合分母として10、100、1000 などを用いる(0.13なら0.01の13 個分すなわち1/100の13個分にあたるので13/100)、これらのことを理解して整数や小数を分数で表せるようにしたり逆に分数を整数や小数で表したりする (※ただし分数を小数で表す際は有限小数では表せないものもある(1/3＝0.333…など)のでそれらのものは次の「整数の除法の分数表記」と合わせて理解する)
整数同士の除法の商を分数を用いて表せることを知る、①まずは分子が1の場合で図などで実際に表してみることを通して理解する(1Lを3つに分けると1/3Lとなり 1÷3＝1/3となる) ②そこから分子が1ではない整数の場合は分子１の分数がその整数分と捉えられることも(2Lを3つに分けると1/3Lが2つ分になるので2/3Lとなりつまり2÷3＝2/3となる) 図などでの確認を行いながら実感を伴い理解する　③その上で商が整数や小数になる除法を分数で表せるようにする(６÷３＝２を6/3で表したり２÷４＝0.5を2/4で表したりする)、　二つの整数の除法は常に割切れるとは限らないが除法を分数で表せばどのような結果でも一つの数で表すことができることを理解する(1÷3＝0.333…とどこまで割り進めても割り切れないが 1/3という分数で表せば一つの数で表せる)、逆に分数を割り算と捉えて小数で表せるようにする(1/4を１÷４とみて0.25 と表す)
一つの分数の分子と分母ともに同じ数を乗除してできる分数は元の分数と同じ大きさを表すことを理解する(2/3＝2×2/3×3＝4/6、4/6＝4÷2/6÷2＝2/3)、除法は分数で表せるのでa÷bがa/bであり同じ数を乗除してできる分数は元の分数と同じ大きさであることはa/b＝a×c/a×cおよびa/b＝a÷c/a÷cとなるのでつまり「被除数・除数ともに同じ数で掛けたり割ったりしても商は同じである」という除法で成り立つ性質と同じことを言っているこいうことを理解する
<約分> 約分とは分数の分子と分母をそれらの公約数で割って分母の小さい分数にすることであるということを理解して約分が出来るようにする、約分した分数は元の分数と同じ大きさを表すことを数直線や図などで確かめて実感しながら理解を深める　<通分> 通分とは分母が違う分数同士を分母が共通な分数に直すことであるということを理解して通分が出来るようにする、通分は二つの分母の最小公倍数を用いると簡潔に表すことを知る、通分は形式的な操作として行わず分母が違っても大きさの等しい分数の意味をよく理解した上で通分する意味も理解して行う、通分して共通な分母に揃えることで分数の相当や大小を比べられるようにする

★ 用語や記号

通分、約分

● 分数の加法・減法

異分母の分数の加法や減法は通分することで同分数の加法や減法として計算できるようになることを理解する、形式的に通分して計算するのではなくもともとの分数はそれぞれの単位分数(その分母で分子が1の状態)が幾つ分かであったが通分することによって新しい共通の単位分数が幾つ分かで両方の分数を表しなおせたのでその単位分数の個数に着目して加法減法の計算ができるようになったことを理解する、このことは単位を揃えて計算するという３年生までの【測定】領域で学習してきたことと同じことであり加法や減法の計算の基本になるこの考え方をここでも再認識する

● 数量の関係を表す式

□＝２＋△，□＝２×△，□＝３×△＋１などの式で表される関係について式の中にある二つの数量の対応の関係や変化の関係の特徴を表などを用いて調べ数量の関係を表す式の意味を読み取れるようにする、逆に伴って変わる二つの数量の関係を表などから読み取り対応の関係や変化の関係を □や△などの記号や言葉を用いて一般的な式に表せるようにする (※ 二つの数量の変わり方は【変化と関係】の領域ですが、これを表や式を用いて考察することによって「式」というものの意味の理解を深めるとともに、関数の考え方も伸ばします)
□や△などの記号や言葉を用いて公式などとして表されている関係が整数だけではなく小数も含めて成り立ち用いられることを知る、そこから式の役割である「数量の関係や法則などを簡潔に一般的な形にして表す」という一面についての理解も深める

図形

図形 : ５年生 – 各項目概要説明

● 平面図形

図形の形や大きさが一つに決まるということの意味や実際に1つに決まるための要素は何かを三角形や四角形などの基本的な図形で一つに定まる要素を知ることを通して実感しながら理解を深めていく；例1) 三角形が一つに定まる要素(三つの辺と三つの角があるがそれらの要素を全て用いなくても以下の要素で三角形が一つに定まることを理解する) → 三つの辺の長さが決まるや二つの辺の長さとその間の角の大きさが決まるや一つの辺の長さとその両端の角の大きさが決まる、など　例2)四角形が一つに定まる要素：・長方形の場合→ 縦と横の長さが決まる、など　・ひし形の場合→二つの対角線の長さが分かれば決まる、など　例3)正三角形や正方形など(角数の分かっている正多角形)が一つに定まる要素→ 一辺の長さが分かれば決まる、など　例4)円が一つに定まる要素→半径の長さが分かれば決まる、など
二つの図形がぴったりと重なるときつまり形も大きさも同じであるときこの二つの図形は「合同」であるということを知る、二つの図形が合同であるとき対応する辺や対応する角の大きさはそれぞれ等しいことを理解する、図形が決まるという観点から二つの図形が合同かどうかを確かめるには全ての辺や角を調べる必要はないということを理解していく、三角形や四角形などの基本的な図形の合同および合同かどうか確認する方法を理解する、二つの図形の合同は位置や向きには関係なくずらしたり回したり裏返したりして置かれていても必要な辺と辺角と角が対応していることを捉えられるようにする(裏返して重なる場合も合同であることに要注意ですね！)(※ただし三角形の合同条件や合同の証明などはまだです、中学２年生の内容となります、そこへ繋がる土台としての学習ですね)、合同の意味を理解して合同という観点からこれまで学習してきた図形を見直してみる(平行四辺形を対角線によって二つの三角形に分けると合同な図形ができる、など)
平面を合同な図形で敷き詰めるなどの操作活動を行い、敷き詰めた図形の中に他の図形を見つけたり、平行線の性質に気付いたりするなど、図形についての見方や感覚を豊かにする
多角形とは三つ以上の直線で囲まれた図形がであることを知る、三角形や四角形以外の多角形も知る(６本の直線で囲まれた図形を六角形というなど)、その簡単な性質を理解する (三角形や四角形のそれぞれの角の合計など)、「図形の性質」というある図形について常に成り立つような事柄があることを知る、三角形の三つの角の大きさの和は180度になるという性質を知る、四角形の四つの角の大きさの和は360度五角形の五つの角の大きさの和は540度という性質を対角線を引き内部に出来る三角形の数と三角形の和の性質を用いて説明できることを理解する、これらをまとめて 1つの頂点から対角線を引いて内部に出来る三角形の数と角の大きさの和の関係として関連付けて多角形の性質として大きく捉えて理解する
辺の長さが全て等しく、角の大きさが全て等しい多角形を正多角形ということを知る、正三角形や正方形も正多角形であるという見方で捉え直す、正多角形の円に関連する性質を知り理解する(円の内側にぴったり入る(円に内接する)、円の外側にぴったり接する(円に外接する)など)、正多角形の作製や作図を通して図形の理解と感覚を深める(六つの合同な正三角形を一つの頂点が共通になるように並べて正六角形を作るなど)、正多角形を円と組み合わせて作図したり(円周を中心を通る半径で60度ずつ回転させて区切りそれらの線が対角線になるように頂点を結んでいき正六角形を描く、など) 正多角形の性質を円の性質と関連付けて調べたりする(円に内接する正多角形の頂点と円の中心とを結んでできる三角形は二辺の長さが半径の長さである二等辺三角形であり全て合同であるなど) ことを通して正多角形と円との関係について実感を伴いながら理解を深める (※正多角形の作図は正確な繰り返し作業を行う必要がある場合が多くプログラミング学習の教材として適した作業です。なのでここでコンピュータプログラム体験を取り入れやすいことが学習指導要領でも触れられています。よって作図とプログラムを絡めて学習する可能性は高くなると思います。)
直径と円周の長さの間には何か関係がありそうだと気付けるようにする(身の回りにある円の直径と円周を幾つか測ってみる活動を通してなど)、正多角形と円の関係からも円周は直径の何倍になるかは常に一定でありそうだと感じたり実際に何倍くらいになりそうだという見通しを立ててみたりする(円に内接する正六角形と円に外接する正方形を利用すれば円周の長さは内接する正六角形の周りの長さ(内接する正六角形は一辺が半径の正三角形6枚で出来るので周りの長さは半径の6倍即ち直径の3倍)より大きく、外接する正方形の周りの長さ(即ち直径の4倍)より小さいことが分かるのでこの関係はどのような大きさの円でも成り立つことが実感できる、およびここから円周は常に直径の3倍より大きく4倍より小さい長さとなりそうであるという見通しが立てられる)
どのような大きさの円でも円周の長さの直径に対する割合は常に一定でありこの割合のことを円周率ということを知る、円周率は無限に続く数だが一般的には 3.14 を用いることを知る、直径・円周・円周率の関係を理解して直径から円周、逆に円周から直径を計算によって求めることができるできるようにする

● 立体図形

基本的な角柱や円柱について以下のことを知る；①角柱や円柱は底面と側面とで構成される立体である　②角柱とは底面が多角形で側面が長方形や正方形の立体であり、底面が三角形である角柱ならば三角柱、四角形である角柱なら四角柱と呼ぶ　③立方体や直方体も四角柱に含まれるとして捉えなおす　④円柱は底面が円の柱体である、これらを底面・側面という言葉を用いて説明や表現ができるようにする
立体図形について観察などの活動を通して角柱や円柱の構成要素である頂点・辺・面の個数や面の形を捉えたり、辺と辺・辺と面・面と面の平行や垂直の関係を捉えられるようにする (※ 辺と辺の垂直ではないが重ならない関係(ねじれの関係)や辺と面の同一平面上にある関係は中学２年生で学習します)
見取図や展開図を描く活動を通して辺と辺・辺と面・面と面のつながりや位置関係を調べられるようにする、展開図を描きそこから立体を構成する活動を通して角柱や円柱についての理解を深めて空間についての感覚を豊かにする

★ 用語や記号

底面、側面

● 平面図形の面積

三角形・平行四辺形・ひし形・台形の面積は図形の見方を工夫することにより今までの学年で学習してきた長方形や正方形の面積の求め方に戻って考えることができることおよびそうすれば計算で求められることを理解する、それらの計算での求め方を公式にすることで三角形、平行四辺形、ひし形、台形の面積は全て公式で求められることを理解するおよびそれらの面積を公式を使って求められるようにする、公式を形式的に用いるのではなく等積変形を理解した上で三角形や平行四辺形の底辺や高さの関係や底辺をどこにとるかで高さが決まることを確実に理解する、面積を求めるためにはどの部分の長さを測る必要があるかを考えて公式の理解を深める、実際に底辺の取り方を変えて面積を求めそれぞれの結果を比べる活動を通して底辺をどこにとっても面積は同じであることを実感を伴って理解できるようにする

● 立体図形の体積

面積を 1単位となる平面を隙間なく敷き詰めてその幾つ分かで求めたことから発展させて体積は空間を隙間なく埋め尽くす立体図形が１単位として適しているという考え方を理解する、その際一辺の長さが１㎝や１ｍのように長さの1単位の大きさとなっている立方体が便利であることも理解する、身の回りにある立方体や直方体の体積を実際に求めたり実際に１㎥の大きさの立方体を観察したりして体積の大きさの感覚を育てる
一辺が10㎝の立方体の体積つまり1000㎤が１Ｌに当たることを知る、立方メートル(およびミリやセンチなどの接頭辞が付いた状態)とリットル(およびミリやセンチなどの接頭辞が付いた状態)との換算を行う
立方体や直方体は一辺が１㎝や１ｍなどの単位体積の立方体を積み重ねてつくれることを理解する、その上で面積を求める考え方(単位面積の平面が敷き詰められた枚数が面積なので結果的に縦×横で求められるという考え方)を発展させて体積の場合は１段分の個数を縦×横その段の個数を高さでそれぞれ表すことができるということを理解する、そこから体積の公式「長方体の体積＝縦×横×高さ(順不同)」「立方体の体積＝1辺×1辺×1辺」として一般化して表せることを理解する (別物なのではなく、どちらも「縦の長さ×横の長さ×高さの長さ」であり、立方体は値が「縦＝横＝高さ＝1辺」なのでこうなるということも理解する)
これまでに学習してきた長さの単位・面積の単位・体積の単位の次の関係などを整理して大きな視点で捉え直し単位というものへの理解を深める：①長さ1cm、1辺の長さ1cmの平面の面積なら縦×横なので1㎠、体積なら縦×横×高さなので1㎤になるという組立単位の関係　②長さ1m、1辺の長さ1mの平面の面積なら縦×横なので1㎡、体積なら縦×横×高さなので1㎥になるという組立　③接頭語と単位の関係(10㎝＝１m、100㎠＝１㎡、1000㎤＝１㎥など長さ・面積・体積の場合の接頭語が付いた状態と付いていない状態の換算の関係) ④かさの単位で長さの単位からの組立単位と基本単位相当であるリットルの関係 (1000㎤＝１㎥＝１Lの関係や、1000mL＝1Lの関係 (接頭語が表す数字を本当の数字に戻して接頭語なしの単位に換算する際の長さの単位からの組立単位で面積や体積の単位となっている単位の場合と組立てずにそれだけで面積や体積の基本単位相当とされている単位の場合との違いに注意です)) (※センチやキロなどの接頭語は組立てられた後の面積の単位ではなくもととなる長さの単位に付いています( 接頭語が付いた状態で一グループの単位であるという国際的なルールであり面積の単位はそれ全体が２回・体積の場合はそれ全体が３回かかっている組立単位) ) (※基本単位メートルの組立単位である体積単位m³についた接頭語を数字に戻して換算する際は、接頭語は基本単位に付いているので、接頭語が表す数字を３回(つまり組立で掛け合わせた回数で“べき乗倍”)する必要がありますが、リットルは基本単位相当なので(面積の単位アールも)、そこについた接頭語を数字に戻して換算する際は「接頭語が表す数字そのもの」となります))

※ 数学的に「図形」とは、点や面や線や立体、またはそれらが集まったもののことを言います。

測定

測定 (1-3年生) : ５年生 – 各項目概要説明

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変化と関係

変化と関係 (4-6年生) : ５年生 – 各項目概要説明

二つの数量の関係について

● 伴って変わる場合：比例の関係

伴って変わる二つの数量の関係のうち、比例という関係があることを知る(簡単な場合(y＝axかつaは簡単な整数程度の関係)を例に、この場合一方が２・３・４…倍になるとそれに伴い他方も２・３・４…倍となることを、表を用いて知る程度でよい)(例えば高さが決まっている階段の段数と全体の高さの関係、や長方形で横の長さが決まっている場合の縦の長さと面積の関係など)、比例の関係は乗法の式で表せる状況と深く関わっていることに気付く、見つけ出した比例の関係を的確に捉えて言葉でも表せるようにする(縦の長さが２倍、３倍、４倍…になれば面積も２倍、３倍、４倍…になる、などの表現)、1から見て２倍、３倍…を調べるだけではなく 2などをはじめどこの値から調べても同じ関係になっていることを理解する、２倍や３倍を ×２や×３と考えて逆にみると÷２や÷３の関係になっていることにも触れる

★ 用語や記号

比例

● 比べる：割合

(※「割合」は算数用語としての意味と日常語としての意味がサラッと混在しています。もちろんどちらも基本イメージは同じですが、日常語としてそのイメージに含む意味を幅広くカバーしている傍らで、算数用語としてその中からピンポイントに的を絞った意味を表す用語として働いており、概ね次の３通りの使われ方です：①算数用語「割合」… Aを何倍するとBになるかの何倍という数。この時 AとＢは同種。 ②算数用語「異種の2量の割合」… もとの数をＡ倍するとＢになる時の、もとの数。この時ＡとＢは異種。(※この語中の「割合」は①と同意ではなく、「異種の2量の割合」のまとまりで一語であり、①とは別物と捉えた方が掴みやすいです。) ③日常用語「割合」…比べた結果の関係、つまり比のこと。この意味の名詞として、および「比べたら～」のような副詞として‍も使われると思います。)

(※５年生で学ぶのは①と②の意味での「割合」であり、こちらは①です。①の場合の「割合」とは「ある数は基準とする数の何倍であるか」の何倍を表す数であり乗法の意味において乗数です。表現を変えると「基準とする量を1と見た場合ある数はいくつにあたるのかを表した数」とも言えます。この比べ方なので値は必然的に「比較値(ある数)÷基準値」となります(こちらは４年生で学習)。)

そしてそこから、つまりは同じことですが「二つ以上の数量がどのような倍数同士で存在しているかを比べてどこかに基準を定めてその基準を１としてそこも他も数で表したもの」とも言えます。その比べ合う数量のどれかに基準がおかれる場合と、それらの数量を合わせた全体に基準がおかれる場合とがあります。)

ある二つの数量の関係と別の二つの数量の関係を比べる際にそれぞれの割合を用いて比べる場合があることを理解する、全体と部分の大きさの関係同士や部分と部分の大きさの関係同士を比べる場合に割合を用いる場合が多いことを知る、複数の基準量と比較量の関係についてそれぞれの基準量を１・比較量を割合として小数で表すことによりその関係同士を比べる場合があることを理解する、そのような比べ方ができるようにする、基準量と比較量には全体と部分の場合および部分と部分である場合があることを知る、また割合は言葉では様々な表現で示されるのでそれらの表現の中から的確に何が基準量で何が比較量かを捉えることが出来るようにする(Ａを基にしたＢの割合は□、Ａを□倍したらＢになった、ＢはＡの□倍である、など表現が変わっても「Ａが基準量Ｂが比較量でありその割合が□である」ことを捉えられるようにする、算数と言うより国語ですね)、全体を基準値１にするという考え方を理解し次の百分率の考え方へとつなげていく(※例)「シュートのうまさ」を全体と部分の割合で比べる方法：全シュート数と入ったシュート数という全体と部分の関係に着目する→ この比べ方で「シュートのうまさ」が0.6であった場合これは全シュート数と入ったシュート数の関係であることを捉えられるようにする、0.6 の割合で入る「うまさ」というのは 10 回中なら６回入る 20 回中なら12回入るということでありこれらは同じ関係であることが理解できるようにする、背後にある「全シュート数」と「入ったシュート数」の間の比例関係を感じ取れるようにする、同じ「うまさ」で全シュート数が違う場合も違う「うまさ」を比べる場合もうまさは差では比べられず割合で比べる必要があることを理解する、この比べ方すなわち「全シュート数」を基準量としてその大きさを１としてそれに対する「入ったシュート数」の割合を小数で表すことで「シュートのうまさ」を比べていくという比べ方を通して全体を基準値１にするという考え方の理解を深める)(※もちろん、入ったシュート数と入らなかったシュート数という部分と部分の関係に着目する方法もあります。シュートの場合は全体と部分の方が比べやすいかと思いますが、様々な場合で何と何を基準量と比較量としているかを明確にした上で両方行いこの場合は全体基準の方が捉えやすいなーとかこういう理由で自分は部分基準の方が考えやすいかなーなどの感想がもてたらすごいですね！)
割合で表す際に比べ合う数量の値を比べ合うどれかの値ではなく「全てを合計した全体に基準を定めた割合」で表す場合は多いことを知る、その際「全体が基準量１」となることを改めて理解する
全体が1だと部分となる比較量は小数となり割合が小数で表されるときなるべく整数で表した方が扱いやすいことも理解する、そのために「1である全体を100とおきなおした割合の表し方」が百分率であることを理解する、百分率を表す単位パーセント(％)を使えるようにする、百分率を求めたり用いたり基準量１に戻した場合と換算したりをできるようにする、ある二つの数量の関係(全体Aと部分B)と別の二つの数量の関係(全体Cと部分D)とを割合を用いて比べる場合に百分率で割合を表し百分率で比べられるようにする、日常生活でよく見かける「割合の便利な表し方」の一つであることを改めて認識する(欠席率が15％だった、定価の20％引きで買った、など)(※不確定な事象についても百分率が用いられて表現されることがありますがこちらは中学校での学習内容になります(明日の降水確率は20％、など))
上記同様「全体に基準を定めた割合」で「1である全体をを10とおきなおした割合の表し方」が歩合であることを知る、歩合を表す単位である「割」について「1割=10%＝0.1」であることを知る、その他の歩合の単位「1分=1%=0.01」「1厘=0.1%＝0.001」にも触れる、こちらも日常生活でよく見かける「割合の便利な表し方」の一つであることを改めて認識する(お値段3割引き！や中身増量2割増し！などは嬉しい響きです＾＾)(※「歩合」は『日本で使われている「十分率」の表記法』とも言えると思います。(0.01を意味する分や0.001を意味する厘の単位も用意されていますが 1を100分や1000厘などではなく「10割」と表現しますので「十分率」がふさわしいかと思います。))

★ 用語や記号

％

● 異種の二つの量の割合：単位量あたりの大きさ

こちらは上記の割合の意味②の「異種の2量の割合」です。乗法の意味において被乗数である「一つ分の大きさ」であり、つまり「基準量につきどのくらいの大きさずつか」です。考え方的には基準量はどのよじうな単位のものでも構わないハズなのですが、この呼び方で括られる際は、基準量の単位は数学・物理的な単位(1㎢とか1秒とか)のときのようです(日常生活的な単位(一皿とか一袋とか)ではこう呼ばれない感じがします。) そしてこの時、大概これらの被乗数には「速度」や「密度」と言った名前が付きます。 (※ 教科書等ではこの単元で「割合」という用語は出ず「単位量あたりの大きさ」などの名前となっていることが多いので、子供達はあまりここで「これも一種の割合なのか」などと悩んだりはしないと思います。)

一つの量だけでは比較できない事柄に着目する(速さは移動距離やかかった時間のどちらか一方のみでは分からいことや混み具合は広さや人数のどちらか一方のみでは分からないことなど)、「単位量とそこに含まれる単位量とは異種の量の大きさ」である「単位量当たりの大きさ」の意味と表し方を理解する、速さや人口密度などを単位時間や単位面積あたりの量として捉えて数値化して求める、速さや人口密度などを求めてそれら用いて比較を行う、速さや人口密度などでの比較を通して「二種類の量の兼ね合い(異種の二つの量の割合)」で捉えられる数量を比べる際に「単位量当たりの大きさ」を用いて比べれば三つ以上のものでも比べられたりいつでも比べられることを知り実感する(新幹線の速さを種類(はやぶさやつばさなど)で比較したり、１㎢当たりの人口すなわち人口密度で人口の疎密を比較したり、１a当たりの収量で米の収量を比較したり、など)、「単位量当たりの大きさ」は「基本的な量の性質をもっていない量」であり、このような量を比べ合うのは５年生が初めてだが、「量を比べている」ということを認識しながら比較を行う、「単位量当たりの大きさ」という量を比べるということがつまり何を比べているのかその意味を十分に理解できるようにする、「単位量当たりの大きさ」を用いて比べる効率性や利便性を理解する　(※二種類の量のうちどちらを単位量とするかは「値が大きいほどその度合いが大きいことを表すようになる」ように単位量とすることが利便性が高く一般的ではあるが、逆の取り方をすることが慣用となっている場合もあることにも触れる→ ①人口密度は面積を単位量とすれば人数/単位面積でその値が大きい＝混み具合の度数が大きい(つまり混んでる)、人を単位量とすれば面積/人でその値が大きい＝一人当たりの面積が広い＝混み具合の度数が小さい(つまりすいてる)、なので値が大きいことがそのまま混み具合の度数も大きいことも意味できる人数/単位面積が一般的　②速さは時間を単位量とすれば長さ(進んだ距離)/単位時間でその値が大きい＝速さ具合の度数が大きい(つまり速い)、進んだ距離を単位量とすれば時間/長さでその値が大きい＝単位とする長さを進むのにかかる時間が大きい＝速さの度数が小さい(つまり遅い)、なので値が大きいことがそのまま速さの度数も大きいことも意味できる長さ/単位時間が一般的。(※ただし速さは、100ｍ走や1000持久走、水泳25ｍのタイムなど、その距離を進むのにかかる時間が小さいことが速さを表す使われ方が慣例になっているものも子供達の身近にも多数ある (ただし距離で割って物理的な1単位距離分の時間などとはしない場合がほとんどですね、しいてこじつけるならその全距離自体を一つの単位としている感じでしょうか、測った時間の小ささが即そのまま速さを表せるので速さを競うスポーツは結構この使われ方が多いですね。何をもって利便性が高いとするかは状況によるということですね。)　(※「基本的な量の性質」は次になりますが、一般的な量でそれをもっていない量は存在し特に珍しくはありません；①量の保存性(一本のリボンは伸ばしても曲げても長さは同じやコップの水の量は茶碗にうつしてもかさは同じなど)　②量の加法性(コップAとコップBの水を合わせてコップCに入れたらAのかさとBのかさの合計がCのかさとなるなど) )

※中学で関数に繋がっていく領域です。関数とはざっくりですが「定まった処理内容があって、処理内部のある値を決めるとその処理内容に従って返る値も決まった数が返ってくるその関係」のようなものです。(例：y＝x＋1 のような単純なものも、y＝x²＋5x＋7 のように少し複雑さを増しても、あるいはもっと複雑なものでも、xの値が一つに決まればyの値も一つに決まるなら、この時どれも「y」は「xの関数」と言えます。)

データの活用

データの活用 : ５年生 – 各項目概要説明

● データの収集と分析および問題解決

数量の関係を全体を基準とした割合で捉えて表すのに適したグラフとして帯グラフと円グラフがあることを知る、どちらのグラフもある事柄についての数量の関係を全体量を基準量・各項目の量をそれぞれ比較量として基準量と比較量との関係をグラフとして表したものであることを知る (ある年の都道府県別の米の収穫量など基準量：全収穫量(全体量)・比較量：各県ごとの収穫量(各項目の量)として)、これらのグラフは全体に対する各項目の割合や各項目の割合同士が比べやすいという利便性を知る
帯グラフは各項目の数量の割合の大きさに対応させて帯状の長方形を幾つかの長方形に区切って表したグラフであると知る、並べると比率の変化を確認しやすいという特徴を知り実感する
円グラフは各項目の数量の割合の大きさに対応させて円を幾つかの扇形に区切って表したグラフであると知る、1/2や1/4といった各項目の全体に対する数量の割合を捉えやすいという特徴を知り実感する (この段階での円グラフ作成練習は手描きの場合もとから円に10等分や100等分の目盛りの入った用紙を用いることが指示されています) (※学習としてではなく成長して本当に使う必要が生じた時はおそらくほとんどがコンピュータ作成です)
複数のデータ系列について各項目の割合を比較する際にもこれらのグラフが使われることを知る、その際並べると比率の変化を確認しやすいのが帯グラフであるため一般的に帯グラフが用いられる場合が多いことを知る(各都道府県の米の収穫量の毎年の推移を過去５年分、などでこの場合のデータ系列は今年のデータ、去年のデータ…、であり、各都道府県がデータ項目)、全体を基準とする割合なので系列ごとの全体数量が違えば同じ項目の割合の大小の推移からは数量の大小は判断できないことに注意する(とある県は去年も今年の全体収穫量に対する割合は30%で変化がなかった場合でも今年の方が全国的に豊作で全体収穫量が増えていれば県の収穫量も当然増えている)、割合での比較の意味を理解した上でどのような比較方法でも割合での比較と実際の数量の大小は別であることを再認識する(今までの割合の学習などでも学習してきたことですが複数の帯グラフなどでの比較ではグラフの見た目という新たに惑わされる要因が追加されるので改めて注意してください (上記の米の収穫量の例でも去年も今年も30%で変化なしは実際の収穫量の変化なしを意味していないことは既に頭では分かっているハズなのにグラフで比較するとグラフの見た目が同じになるのでそこにつられてつい間違えてしまう…ということもあるかと思います))
事柄の因果関係や傾向を漠然と捉えるだけではなくデータに基づいて判断するという「統計的な問題解決の方法」という考え方および解決方法があることを知る(「PPDACサイクル」といわれる問題解決のためのフレームワーク(思考の型や枠組み)の一つです)、「統計的な問題解決の方法」とは以下の「①問題(Problem)→②計画(Plan)→③データ(Data)→④分析(Analysis)→⑤結論(Conclusion)」という五つの段階を経て問題解決する方法であることを知る → ①問題(Problem)：問題や課題の発生と明確化(問題は何か、その問題が実際にデータとして表れているのはどんなデータであるかなどを具体的にしていき着目点などを正確に把握していく)　②計画(Plan)：調査・分析を行うための計画解決に必要な情報は何かについて見通しを立ててどのようなデータをどのように集めるかという具体的な計画を立てる、しっかりと調査の計画を立てて正確なデータを集めることは間違ったデータ収集や再分析という回り道や戻り作業などの大きなロスを防いでくれてるのでこれが面倒なように見えて一番確実であり一番の近道です　③データ(Data)：実際にデータを集めて分類整理する、調査計画で立てた計画に沿って必要なデータを回収することそしてその結果情報を集計・整理および必要に応じて加工して生データを表にまとめることまでが一般的にはここの段階に含まれます(小学生では表の作成もこの段階か次の段階か境界は曖昧かもしれません)(グラフ化は次の段階です)　④分析(Analysis)：目的に応じて観点(何が知りたいか)を決めて適切なグラフに表すなどしてデータの特徴や傾向をつかむ　⑤結論(Conclusion)：分析結果を基に結論や問題の解決方法をまとめる、またそこから更に考察を深めるとさらなる問題や新たな発見が見つかったりする　、身の回りの事柄について興味や関心や問題意識に基づいて問題を発見・設定してこの「統計的な問題解決の方法」で考察していくことができるようにする、今までの学年で学んできたデータの収集や分析などもこのために使うものであることを再認識する、この解決方法の中で今までに学習した分析手法のどの方法を用いて分析するのが適切であるかを計画の段階で視野に入れれるようにする、また選んだ分析方法に合わせたデータの集め方などを考えられるようにする、結論を得て満足ではなく得られた結論の意味や妥当性を考えたり別の観点から考えて結論を疑ってみたり問題解決の各段階が適切であったかを振り返って考え直すという考え方や姿勢も育む

● 測定値の平均

幾つかの数量や数値をならして中間的な値を求めるという平均の意味を理解する、測定結果を平均する方法(多いところから少ないところへ移動してならす方法や全てを足し合わせて等分するという方法)と平均の意味を関連させて理解する、測定には必ず誤差が伴うことと幾つかの測定値を同じ大きさの数量にならすとより妥当な数値が得られる場合が多いことを知る(直線などの長さを計る際物差しでは１㎜より細かくは測れないので誤差が生じることがあるため何人かで測ってその値を平均すればより妥当な数値が得られやすいなど)、測定する対象がもつ真の値に近い値を得るために平均を用いることを知る、飛び離れた値や予想外の値があった場合にはその原因を調べ場合によりそれらの値は除いて平均を求めることなども考えられるようにする、測定値を合計して等分する際答えの数の桁数を測定値の桁数より多く出してもあまり意味がないため四捨五入などを行い元の測定値の桁数程度になるようとどめるのが普通であることを知る、形式的な計算ではなく意味を理解し考慮すべき点を考慮した上で平均値を妥当な数値として示せるようにする